POLINOMIOS Y SUS PROPIEDADES
En esta ocasiones desarrollaremos todo sobre polinomios de una manera muy elemental posible. Los polinomios tiene varias aplicaciones en muchos campos avanzados como el análisis matemático y numérico, álgebra lineal, como también en la alineación de antenas electromagnéticas, población de cultivo de bacterias, física, astronomía, hasta genética, en fin, en una serie de aplicación importantes en muchas áreas de estudio.
Gracias a su importancia, veremos una serie conceptos básicos como su definición, tipos de polinomios, operaciones con polinomios, valor numérico, entre otros detalles más. Sin mas que decir, comencemos.
¿Que es un polinomio?
Un polinomio es una expresión algebraica racional entera de dos o más términos tal que cada uno de sus términos no se admiten las operaciones de suma y resta.
Me explico con el siguiente ejemplo:
- 3ab2
- 3a(b+2)2
La primera es un término algebraico donde solo se ven las operaciones de multiplicación y potencia, pero en la segunda podemos ver un termino algebraico donde existe la operación de adición en su estructura. Las dos son dos expresiones algebraicas racionales enteras.
Si un polinomio tiene por lo menos un término donde se admita una suma y/o resta, entonces no se puede decir que es un polinomio, pero puede transformarse en un polinomio, eso si es posible.
Por tanto, las únicas operaciones que podemos encontrar en un polinomio son la suma, resta, multiplicación y potenciación, siempre y cuando cada término sólo se admitan las operaciones de multiplicación y potenciación entre sus variables.
Si en caso contrario encontramos por lo menos alguna fracción tal que en el denominador se admita variables, o términos con variables de exponentes negativos, fraccionarios o irracionales, entonces no está categorizado como un polinomio ni tampoco puede transformarse en un polinomio finito (que tenga un número limitado de términos).
Aplicaciones de los polinomios en distintos campos de estudio
Las series polinomiales tienen multitud de aplicaciones en distintas áreas de la matemática, pero también lo podemos encontrar en otras campos de estudio, algunas de ellas son:
- En cálculo es muy frecuentemente aproximar funciones usando series de polinomios, siempre y cuando dicha función sea múltiplemente derivable. La herramienta de aproximación para estos propósitos se llama serie de Taylor.
- Otro uso de las series polinomiales es en el análisis numérico, por ejemplo una técnica de aproximación llama interpolación polinómica que sirve para aproximar una función a un valor determinado. Una forma básica de interpolación polinómica es la llamada interpolación de Lagrange, particularmente este método sirve para aproximar como por ejemplo una función exponencial del tipo ee2 o una función trigonométrica g(x)=sinx evaluado en un punto dado x=0.034 con la ayuda de polinomios muy especiales para estos campos de estudios.
- El estudio de los polinomios lo podemos encontrar en el campo de la economía donde buscan una función lineal entre la oferta y demanda.
- Otros usos son los polinomios ortogonales que se pueden encontrar en los espacios de Hilbert como por ejemplo, la mecanica cuántica, también sirve para aproximar funciones. Generalmente son muy usados en la física, ingeniería e informática.
- También lo podemos encontrar en la biología, especialmente en la genética, donde se usan un tipo de polinomio llamado polinomio de Jones donde se estudia la teoría de nudos en el área de la topología matemática, este método nace en el estudio de la electricidad y la física del átomo, pero como se encontraron muchos nudos en el ADN, fue buena idea estudiar matemáticamente aplicando la teoría de nudos en el campo de la biología molecular.
Definición algebraica
Un polinomio P es una expresión algebráica constituida por variables (también llamadas indeterminadas o incógnitas en función del contexto) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones de la suma y la multiplicación repetidas un número finito de veces. Pueden ser de una o de varias variables.[4]
Los coeficientes se toman de un conjunto A con estructura algebráica de anillo, en la cual hay dos operaciones denominadas suma y producto. Los conjunto númericos usuales, a excepción de los naturales, son anillos y por tanto se pueden formar polinomios con coeficientes enteros, racionales, reales y complejos. El conjunto de todos los polinomios en n indeterminadas con coeficientes en A es también un anillo, denominado anillo de polinomios con n indeterminadas sobre A. Este anillo se denota como A[X1,…,Xn].
El término incógnita se suele utilizar cuando se trata de ecuaciones polinómicas, es decir, igualdades del tipo P=0 que solo se verifican para valores específicos de las indeterminadas, llamados soluciones de la ecuación o raíces del polinomio. El término variable se utiliza en el contexto de las funciones polinómicas, para denominar las cantidades de las que depende el valor de la función.
Un polinomio P es una expresión algebráica constituida por variables (también llamadas indeterminadas o incógnitas en función del contexto) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones de la suma y la multiplicación repetidas un número finito de veces. Pueden ser de una o de varias variables.[4]
Los coeficientes se toman de un conjunto A con estructura algebráica de anillo, en la cual hay dos operaciones denominadas suma y producto. Los conjunto númericos usuales, a excepción de los naturales, son anillos y por tanto se pueden formar polinomios con coeficientes enteros, racionales, reales y complejos. El conjunto de todos los polinomios en n indeterminadas con coeficientes en A es también un anillo, denominado anillo de polinomios con n indeterminadas sobre A. Este anillo se denota como A[X1,…,Xn].
El término incógnita se suele utilizar cuando se trata de ecuaciones polinómicas, es decir, igualdades del tipo P=0 que solo se verifican para valores específicos de las indeterminadas, llamados soluciones de la ecuación o raíces del polinomio. El término variable se utiliza en el contexto de las funciones polinómicas, para denominar las cantidades de las que depende el valor de la función.
Polinomios de una variable
Dados ciertos elementos a0,…,an de un anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como R o C, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y n∈N, entonces un polinomio P de grado n en la indeterminada x es un objeto de la forma:
P(x)= anxn+an−1xn−1+⋯+a1x1+a0x0.
Un polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:
P(x)=∑i=0naixi.
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal (o coeficiente director). Cuando el coeficiente principal es la unidad, al polinomio se le llama mónico o normalizado. Un polinomio de una variable queda definido por el conjunto de sus coeficientes ordenados {ai}i=0n.
Los polinomios tienen un grado n finito, es decir, tienen un número finito de sumandos. Se puede generalizar esta idea a una serie polinómica, que es una suma de infinitos términos con coeficientes {ai}i=0∞. Las series de Taylor son de este tipo y se usan para aproximar el valor de funciones suaves. Sin embargo, no todas las series tienen una suma definida, ya que ello depende de su convergencia. En cierto sentido, un polinomio puede considerarse como una serie en la que a partir del enésimo término todos los siguientes son nulos, y por tanto siempre converge.[5]
Dados ciertos elementos a0,…,an de un anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como R o C, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y n∈N, entonces un polinomio P de grado n en la indeterminada x es un objeto de la forma:
P(x)= anxn+an−1xn−1+⋯+a1x1+a0x0.
Un polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:
P(x)=∑i=0naixi.
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal (o coeficiente director). Cuando el coeficiente principal es la unidad, al polinomio se le llama mónico o normalizado. Un polinomio de una variable queda definido por el conjunto de sus coeficientes ordenados {ai}i=0n.
Los polinomios tienen un grado n finito, es decir, tienen un número finito de sumandos. Se puede generalizar esta idea a una serie polinómica, que es una suma de infinitos términos con coeficientes {ai}i=0∞. Las series de Taylor son de este tipo y se usan para aproximar el valor de funciones suaves. Sin embargo, no todas las series tienen una suma definida, ya que ello depende de su convergencia. En cierto sentido, un polinomio puede considerarse como una serie en la que a partir del enésimo término todos los siguientes son nulos, y por tanto siempre converge.[5]
Polinomios de varias variables
Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:
(2){(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4
Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.
Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
(x−y)2=x2−2xy+y2Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
5xy,3xz2,4xy2z,…En detalle el último de ellos 4xy2z es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.
Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:
(2){(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4
Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.
Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
(x−y)2=x2−2xy+y2Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
5xy,3xz2,4xy2z,…En detalle el último de ellos 4xy2z es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.
Grado de un polinomio
- Artículo principal: Grado (polinomio)
Se define el grado de un monomio como la suma de los exponentes de las variables que la componen. El grado de un polinomio p es el del monomio de mayor grado, y se denota por gr(p).
EjemplosP(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.Cuando los coeficientes del polinomio son elementos de un dominio de integridad (como los conjuntos numéricos usuales) el grado del producto de dos polinomios es igual a la suma de los grados de dichos polinomios:
gr(p⋅q)=gr(p)+gr(q)Un polinomio que tiene todos sus coeficientes iguales a cero se denomina polinomio nulo y se escribe como 0 . El polinomio cero actúa de elemento neutro aditivo del anillo de polinomios: p+0=0+p=p, para cualquier polinomio p. Además, el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo da como resultado el polinomio nulo. Por convención, a este polinomio se le asigna un grado igual a −∞ (junto con la operación ∀n:−∞+n=−∞), ya que es la única definición consistente con la regla para el grado del producto.
Se denomina polinomio homogéneo a aquel en el que todos los monomios tienen el mismo grado. Por ejemplo, p(x,y)=2x2y+3y3 es un polinomio homogéneo de grado 3.
Se define el grado de un monomio como la suma de los exponentes de las variables que la componen. El grado de un polinomio p es el del monomio de mayor grado, y se denota por gr(p).
EjemplosP(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.Cuando los coeficientes del polinomio son elementos de un dominio de integridad (como los conjuntos numéricos usuales) el grado del producto de dos polinomios es igual a la suma de los grados de dichos polinomios:
gr(p⋅q)=gr(p)+gr(q)Un polinomio que tiene todos sus coeficientes iguales a cero se denomina polinomio nulo y se escribe como 0 . El polinomio cero actúa de elemento neutro aditivo del anillo de polinomios: p+0=0+p=p, para cualquier polinomio p. Además, el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo da como resultado el polinomio nulo. Por convención, a este polinomio se le asigna un grado igual a −∞ (junto con la operación ∀n:−∞+n=−∞), ya que es la única definición consistente con la regla para el grado del producto.
Se denomina polinomio homogéneo a aquel en el que todos los monomios tienen el mismo grado. Por ejemplo, p(x,y)=2x2y+3y3 es un polinomio homogéneo de grado 3.
Operaciones con polinomios
- Artículo principal: Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los términos semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los términos semejantes.
EjemploSean los polinomios: P(x)=(2x3+4x+1) y Q(x)=(5x2+3), entonces el producto es:
P(x)Q(x)= (2x3+4x+1)(5x2+3)= (2x3+4x+1)(5x2)+(2x3+4x+1)(3)= (10x5+20x3+5x2)+(6x3+12x+3)= 10x5+26x3+5x2+12x+3Para poder realizar eficazmente la multiplicación de polinomios, se tiene que ordenar cada polinomio de forma decreciente según el grado de sus términos. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
P(x)Q(x)= (∑i=0maixi)(∑j=0nbjxj)= ∑k=0m+n(∑p=0kapbk−p)xk
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
P(x)Q(x)= (2x3+4x+1)(5x2+3)= (1⋅3)x0+(4⋅3)x1+(1⋅5)x2+(4⋅5+2⋅3)x3+(0)x4+(5⋅2)x5= 10x5+26x3+5x2+12x+3
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios P(X) y Q(X) y el polinomio producto P(X)Q(X):
(*)gr(P(x)Q(x))=gr(P(x))+gr(Q(x))
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los términos semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los términos semejantes.
EjemploSean los polinomios: P(x)=(2x3+4x+1) y Q(x)=(5x2+3), entonces el producto es:
P(x)Q(x)= (2x3+4x+1)(5x2+3)= (2x3+4x+1)(5x2)+(2x3+4x+1)(3)= (10x5+20x3+5x2)+(6x3+12x+3)= 10x5+26x3+5x2+12x+3Para poder realizar eficazmente la multiplicación de polinomios, se tiene que ordenar cada polinomio de forma decreciente según el grado de sus términos. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
P(x)Q(x)= (∑i=0maixi)(∑j=0nbjxj)= ∑k=0m+n(∑p=0kapbk−p)xk
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
P(x)Q(x)= (2x3+4x+1)(5x2+3)= (1⋅3)x0+(4⋅3)x1+(1⋅5)x2+(4⋅5+2⋅3)x3+(0)x4+(5⋅2)x5= 10x5+26x3+5x2+12x+3
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios P(X) y Q(X) y el polinomio producto P(X)Q(X):
(*)gr(P(x)Q(x))=gr(P(x))+gr(Q(x))
Funciones polinómicas
- Artículo principal: Función polinómica
Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado un polinomio P[x] se puede definir una función polinómica asociada al polinomio dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo:
fP:A→A,a∈A↦fP(a)=anan+an−1an−1+⋯+a1a+a0∈A
Las funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillas de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Estas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.
Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado un polinomio P[x] se puede definir una función polinómica asociada al polinomio dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo:
fP:A→A,a∈A↦fP(a)=anan+an−1an−1+⋯+a1a+a0∈A
Las funciones polinómicas reales son funciones suaves, es decir, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes). Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillas de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Estas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.
Ejemplos de funciones polinómicas
Note que las gráficas representan a las funciones polinómicas y no a los polinomios en sí, pues un polinomio solo es la suma de varios monomios.
Polinomio de grado 2:
f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2). Polinomio de grado 3:
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2=
1/5 (x+5)(x+1)(x-2).
Polinomio de grado 4:
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5. Polinomio de grado 5:
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2.La función
f(x)=13x4−7x3+23x2−5x+3es un ejemplo de función polinómica de cuarto grado, con coeficiente principal 13 y una constante de 3.
Note que las gráficas representan a las funciones polinómicas y no a los polinomios en sí, pues un polinomio solo es la suma de varios monomios.
Polinomio de grado 2:f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2). Polinomio de grado 3:
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2=
1/5 (x+5)(x+1)(x-2).
Polinomio de grado 4:
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5. Polinomio de grado 5:
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2.
La función
f(x)=13x4−7x3+23x2−5x+3es un ejemplo de función polinómica de cuarto grado, con coeficiente principal 13 y una constante de 3.
Evaluación de un polinomio
El valor de un polinomio P(x) para x=a es el resultado de sustituir la indeterminada por a y hacer las operaciones indicadas obteniendo P(a).
Por ejemplo, dado P(x)=x4+2x3−7x2−8x+12 su valor para x=3 será:
P(3)=34+2⋅33−7⋅32−8⋅3+12=60Ese valor coincide con el resto de la división entre P(x) y (x−3) -teorema del resto-.
El valor a para el que P(x)=0, es decir que anula el polinomio, es una raíz del mismo, cumpliéndose entonces que (x−a) es un factor de P(x) -teorema del factor-.
Así, en el ejemplo propuesto tenemos que 2 es una raíz de P(x) porque P(2)=0, deduciéndose inmediatamente:
- La división entre P(x) y (x−2) es exacta.
- El binomio (x−2) es un factor de P(x).
El valor de un polinomio P(x) para x=a es el resultado de sustituir la indeterminada por a y hacer las operaciones indicadas obteniendo P(a).
Por ejemplo, dado P(x)=x4+2x3−7x2−8x+12 su valor para x=3 será:
P(3)=34+2⋅33−7⋅32−8⋅3+12=60Ese valor coincide con el resto de la división entre P(x) y (x−3) -teorema del resto-.
El valor a para el que P(x)=0, es decir que anula el polinomio, es una raíz del mismo, cumpliéndose entonces que (x−a) es un factor de P(x) -teorema del factor-.
Así, en el ejemplo propuesto tenemos que 2 es una raíz de P(x) porque P(2)=0, deduciéndose inmediatamente:
- La división entre P(x) y (x−2) es exacta.
- El binomio (x−2) es un factor de P(x).
Factorización de polinomios
- Artículo principal: Factorización
En un anillo conmutativo A una condición necesaria para que un binomio sea un factor de un polinomio de grado n > 1, es que el término independiente del polinomio sea divisible por la raíz del monomio:
Pn(x)= anxn+⋯+a1x+a0=(x−α)Qn−1(x)necesariamente α divide a a0.
En caso de que el polinomio no tenga término independiente se puede sacar la incógnita como factor común. También se puede factorizar usando las igualdades notables.
Un polinomio factoriza dependiendo del anillo sobre el cual se considere la factorización, por ejemplo el binomio X2−2 no factoriza sobre Q pero sí factoriza sobre R:
x2−2=(x+2)(x−2)
Por otra parte X2+2 no factoriza ni sobre Q, ni tampoco sobre R aunque factoriza sobre C:
x2+2=(x+i2)(x−i2)
Un cuerpo en el que todo polinomio no constante se factoriza en monomios es un cuerpo algebraicamente cerrado.
En un anillo conmutativo A una condición necesaria para que un binomio sea un factor de un polinomio de grado n > 1, es que el término independiente del polinomio sea divisible por la raíz del monomio:
Pn(x)= anxn+⋯+a1x+a0=(x−α)Qn−1(x)necesariamente α divide a a0.
En caso de que el polinomio no tenga término independiente se puede sacar la incógnita como factor común. También se puede factorizar usando las igualdades notables.
Un polinomio factoriza dependiendo del anillo sobre el cual se considere la factorización, por ejemplo el binomio X2−2 no factoriza sobre Q pero sí factoriza sobre R:
x2−2=(x+2)(x−2)
Por otra parte X2+2 no factoriza ni sobre Q, ni tampoco sobre R aunque factoriza sobre C:
x2+2=(x+i2)(x−i2)
Un cuerpo en el que todo polinomio no constante se factoriza en monomios es un cuerpo algebraicamente cerrado.