Fracciones algebraicas

¿Qué son las fracciones algebraicas?

En matemáticas, una fracción algebraica es aquella fracción que tiene un polinomio en el numerador y otro polinomio en el denominador.

Por ejemplo, la expresión fraccionaria anterior consiste en una fracción algebraica porque tanto su numerador como su denominador están formados por polinomios.

Fracciones algebraicas equivalentes

Una vez ya sabemos la definición de fracciones algebraicas, veamos cuándo dos fracciones de este tipo son iguales.

Matemáticamente, dos fracciones algebraicas son equivalentes si se cumple la siguiente condición:

A modo de ejemplo, vamos a verificar si las siguientes 2 fracciones algebraicas son equivalentes:

Para determinar si las fracciones son algebraicamente iguales, multiplicamos sus términos en cruz:

Ahora calculamos las multiplicaciones de polinomios:

Hemos obtenido la misma expresión en ambos lados de la ecuación, por lo tanto, efectivamente se trata de dos fracciones algebraicas equivalentes.

Simplificar fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica primero se deben factorizar los polinomios del numerador y del denominador, y luego eliminar los factores que tengan en común.

Evidentemente, para poder hacer la simplificación de fracciones algebraicas es imprescindible que sepas qué es la factorización de polinomios y cómo se hace. Si aún no sabes cómo se factorizan los polinomios o no te acuerdas del todo, te recomiendo que antes de seguir vayas a la página enlazada, ya que de lo contrario difícilmente entenderás el procedimiento. Allí se explica paso a paso cómo factorizar polinomios y, además, podrás ver varios ejemplos y practicar con ejercicios resueltos.

Ahora sí, veamos cómo se simplifica una fracción algebraica aplicando el método de la factorización de polinomios mediante un ejemplo:

• Simplifica la siguiente fracción algebraica:

Primero de todo, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador de la fracción:

Y una vez hemos factorizado los polinomios, eliminamos los factores comunes entre el numerador y el denominador, es decir, quitamos todos los términos que se repiten:

De forma que la fracción algebraica simplificada queda de la siguiente manera:

En este problema se han factorizado los polinomios de la fracción algebraica hallando sus raíces, sin embargo, en ocasiones se puede factorizar un polinomio directamente sacando factor común (método mucho más rápido). En este enlace podrás ver en qué consiste sacar factor común de un polinomio y encontrarás cómo simplificar una fracción algebraica mediante factor común.

Operaciones con fracciones algebraicas

Como cualquier tipo de fracciones, también se pueden realizar operaciones con fracciones algebraicas. En concreto, las fracciones algebraicas se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. A continuación explicamos paso a paso con ejemplos cómo se calcula cada tipo de operación.

Suma y resta de fracciones algebraicas

El procedimiento para sumar y restar fracciones algebraicas es prácticamente idéntico, por tanto, los analizaremos de manera conjunta. Primero veremos un ejemplo de dos fracciones algebraicas sumadas y, más abajo, estudiaremos la diferencia que hay con el método de restar fracciones algebraicas.

Para multiplicar fracciones algebraicas primero se factorizan todos los polinomios de dichas fracciones, en segundo lugar se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, y, por último, se simplifica la fracción obtenida.

Por lo tanto, en realidad el producto de fracciones algebraicas se calcula de manera parecida al producto de fracciones normales.

Veamos entonces cómo se multiplican dos fracciones algebraicas con un ejemplo:

Primero de todo tenemos que factorizar todos los polinomios de las fracciones, tanto de los numeradores como de los denominadores:

Ahora vamos a multiplicar las fracciones. Para ello multiplicamos los numeradores y los denominadores entre sí:

Y finalmente simplificamos los factores que se repiten en el denominador y en el numerador:

De forma que el resultado de la multiplicación es:

La fracción ya no se puede simplificar más. Por lo que ya hemos acabado la multiplicación de las fracciones algebraicas.

División de fracciones algebraicas

Para calcular una división de fracciones algebraicas primero factorizamos todos los polinomios, luego multiplicamos las fracciones en cruz (el primer numerador por el segundo denominador y el primer denominador por el segundo numerador) y, finalmente, simplificamos la fracción algebraica.

Así pues, veamos mejor cómo se dividen dos fracciones algebraicas mediante un ejemplo:

El primer paso para dividir dos fracciones algebraicas es factorizar todos los polinomios que intervienen en la operación:

Ahora tenemos que dividir las fracciones. Para ello, multiplicamos en cruz las fracciones, es decir, el primer numerador se multiplica por el segundo denominador y el resultado será el numerador de la nueva fracción, y, del mismo modo, el primer denominador se multiplica por el segundo numerador y el resultado será el denominador de la nueva fracción:

Simplificamos los factores que se repiten en el denominador y en el numerador:

Y todavía podemos simplificar más la fracción, ya que

La fracción ya no se puede simplificar más. Por tanto, ya hemos dividido las fracciones algebraicas.

Ver solución

Para sumar (o restar) fracciones algebraicas primero debemos reducir las fracciones a común denominador y luego sumar (o restar) los numeradores. Por lo tanto:

Ejercicio 4

Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas:

Para multiplicar fracciones algebraicas primero tenemos que factorizar todos los polinomios, luego multiplicamos los numeradores y los denominadores entre sí, y, finalmente, simplificamos la fracción obtenida.

En cambio, para dividir fracciones algebraicas primero factorizamos todos los polinomios, después multiplicamos las fracciones en cruz (el primer numerador por el segundo denominador y el primer denominador por el segundo numerador) y, por último, simplificamos la fracción algebraica hallada.